Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1.

（1）试求常数a、b、c的值；

（2）试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.

Answer 1

分析：首先求出f′(x),令f′(x)=0求出根.再通过极值点与导数的关系，建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值.

（1）解法一：f′(x)=3ax²+2bx+c.

∵x=±1是函数f(x)的极值点，

∵x=±1是方程f′(x)=0,即3ax²+2bx+c=0的两根，由根与系数的关系，得

又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,                                                         ③

由①②③解得a=,b=0,c=-.

解法二：由f′(-1)=f′(1)=0得

3a+2b+c=0,                                                                  ①

3a-2b+c=0,                                                                  ②

又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,                                                      ③

解①②③得a=,b=0,c=-.

（2）解：∵f(x)=x³-x,∴f′(x)=x²-=(x-1)(x+1).

当x＜-1或x＞1时,f′(x)＞0,当-1＜x＜1时，f′(x)＜0.

∴函数f(x)在（-∞,-1)和（1，+∞)上是增函数，在（-1，1）上是减函数.

∴当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1.

当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1.