Question

请思考如何利用导数进行求和．

1．S_n＝1＋2x＋3x²＋…＋nx^n－1(x≠0，n∈N^*)；

2．S_n＝＋…＋n(n∈N^*)．

Answer 1

答案：
解析：

导思：1．一般很容易想到通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决，转换思维角度．由求导公式(xn)＝nxn－1可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和．利用导数运算，可使问题解法更加简捷． 　　2．通过对数列的通项进行联想，合理运用了逆向思维的方法，从而激发了思维的灵活性，使数列的求和问题得到解决，其关键是抓住了数列通项的形式结构，这也有助于培养善于联想的好习惯． 　　探究：1．当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；当x≠1时，x＋x2＋x3＋…＋xn＝两边都是对关于x的函数求导数． 　　(x＋x2＋x3＋…＋xn＝(， 　　即Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝． 　　2．(1＋x)n＝1＋＋…＋nxn－1， 　　令x＝1，得n·2n－1＝， 　　即Sn＝＋…＋n＝n·2n－1．