Question

设奇函数f（x）=

3x-a

3x+1

的反函数为f^-1（x），则（　　）

• A、f^--1（

  1

  2

  ）＞f^--1（

  1

  3

  ）
• B、f^-1（3）＞f^-1（2）
• C、f^--1（

  1

  2

  ）＜f^-1（

  1

  3

  ）
• D、f^-1（3）＜f^-1（2）

Answer 1

分析：要充分利用函数的奇偶性的概念，对于奇函数有一个结论：奇函数在x=0处有定义，则有f（0）=0，本题可以充分利用这一点来求参数a的值，然后求出反函数的定义域，用定义法判断其单调性，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形与零比较，得到f^-1（x₁）与f^-1（x₂）关系，可得结论．

解答：解：f（x）为奇函数，f（0）=

1-a

1+1

=0∴a=1
经检验，a=1时f（x）是奇函数
∴f（x）=y=

3x-1

3x+1

则3^x=

1+y

1-y

＞0∴-1＜y＜1
∴f^-1（x）=log3

1+x

1-x

 （x∈（-1，1）．
当-＜x₁＜x₂＜1时，

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴

1+x1

1-x1

＜

1+x2

1-x2

，
于是：l0g 3

1+x1

1-x1

＜l0g 3

1+x2

1-x2

，
即：f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（-1，1）上是增函数．
故选A．

点评：本题主要考查函数的反函数的求法及其单调性的判断，在求反函数时，要抓住x与y互换和原函数与反函数定义域与值域互换这两点．