Question

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1。

（1）请在线段CE上找到一点F，使得直线BF∥平面ACD，并证明；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）若的线∥面，且，由线面平行的性质定理可知 ∥， 即若证得 ∥，则可证得∥面。由已知可知∥且，则点为中点时根据平行四边形可证得 ∥。（2）设所求的二面角的大小为，则。（也可用空间向量法）

解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，，，，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为

，∴

，而是平面ACD的一个法向量，

此即证得BF∥平面ACD； 6分

（2）设平面BCE的法向量为，则，且，

由，，

∴，不妨设，则，即，

∴所求角满足，∴； 13分

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则，∴，

∴四边形ABFH是平行四边形，∴，

由平面ACD内，平面ACD，平面ACD

（2）由已知条件可知即为在平面ACD上的射影，设所求的二面角的大小为，则，

易求得BC=BE，CE，∴，

而，∴，且， ∴

考点：1线线平行、线面平行；2二面角。