Question

已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左右焦点分别为，，过点的直线与椭圆C交于两点.
①当直线的倾斜角为时，求的长；
②求的内切圆的面积的最大值，并求出当的内切圆的面积取最大值时直线的方程.

Answer 1

（1）椭圆C的方程为；（2）（1）的长为；（2）当的内切圆的面积取最大值时直线的方程为.

试题分析：（1）由已知得，且，联立可求得椭圆方程；
（2）（1）联立椭圆与直线方程，由弦长公式可直接求出的长；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，得，而；
利用均值不等式和函数单调性的性质可得当时，有最大值3，这时的内切圆面积的最大值为，直线的方程为.
试题解析：（1）由已知，得，且，解得，
故椭圆C的方程为；                                4分
（2）①由，消去得，             6分
则；                                9分
②设直线的方程为，由，得，显然，
设，则有，
设的内切圆半径为，由可知，
当最大时，也最大，的内切圆面积也最大.
由      12分
令，则，且，则，
令，则，从而在区间上单调递增，故有
所以，即当，时，有最大值3，即，
这时的内切圆面积的最大值为，直线的方程为.          14分