Question

已知是椭圆上两点，点的坐标为.
（1）当关于点对称时，求证：；
（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.

Answer 1

（1）详见解析，（2）详见解析.

试题分析：（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.
试题解析：（1）证明：
因为在椭圆上，
所以                 1分
因为关于点对称，
所以，                2分
将代入②得③，
由①和③消解得，                     4分
所以.                     5分
（2）当直线斜率不存在时，，
可得，不是等边三角形.           6分
当直线斜率存在时，显然斜率不为0.
设直线：，中点为，
联立消去得，         7分

由，得到①                 8分
又,
所以，
所以                     10分
假设为等边三角形，则有，
又因为，
所以，即，          11分
化简，解得或       12分
这与①式矛盾，所以假设不成立.
因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形.      14分