Question

正四面体ABCD（六条棱长都相等）的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（　　）

A．[ 1 2 ，1]

B．[ 2 4 ， 1 2 ]

C．[ 3 4 ，1]

D．（0，1）

Answer 1

由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，
由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为

1

2

×1×1=

1

2

当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，
此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1，
此三角形的高是AB，CD两线之间的距离，
取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA=MB=

3

2

，
再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN=

2

2

，
此时投影面的面积是

1

2

×

2

2

×1=

2

4

，
故投影面的取值范围是[

2

4

，

1

2

]
故选：B