Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，直线与坐标轴的交点是椭圆的两个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上的两点，且满足，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）因为与轴交点为，与轴交点为，

又直线与坐标轴交点为椭圆的顶点，即可求得a,b,进而得到椭圆的方程；

（2）由题意知M、N是椭圆上的两点，且OM⊥ON，故设M（r1cosθ，r1sinθ），N（-r2sinθ，r2cosθ），由题设条件能够推出|MN|的最小值为．

（1）因为与轴交点为，与轴交点为，

又直线与坐标轴交点为椭圆的顶点，

所以椭圆的顶点为，，

故所求椭圆方程为

（2）由题意知是椭圆上的两点，且，故设，

，其中，，

于是，，

从而.

又（当且仅当时取等号）

所以，即，.

故所求的最小值为.