Question

已知圆M过点C（1，-1），且圆心M坐标为（1，1）．    
（1）求圆M的方程；              
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用直线与圆相切，确定圆的半径，从而可得圆的方程；
（2）四边形PAMB的面积S=S_△PAM+S_△PBM，转化为求S的最小值只需求PM的最小值即可，利用点到直线的距离求出最小值．

解答：解：（1）由已知易知，r=2，故所求圆M的方程为（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）∵四边形PAMB的面积S=S_△PAM+S_△PBM=|AM|•|PA|+|BM|•|PB|，
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，
∴S=2|PA|，
而|PA|=

|PM|2-|AM|2

=

|PM|2-4

∴S=2

|PM|2-4

，因此要求S的最小值只需求PM的最小值即可．
即在直线3x+4y+8=0上的动点P，使得|PM|最小．
∴|PM|最小值=

|3×1+4×1+8|

32+42

=3

，

∴四边形PAMB面积的最小值为：S=2

|PM|2-4

=2

32-4

=2

5

．

点评：本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．