Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=2，S_n+1=4a_n+2．
（1）求a₂的值；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，S_n+1=4a_n+2．令n=1代入即可得出．
（2）由S_n+1=4a_n+2，可得：当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，相减可得：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），于是b_n+1=2b_n，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，S_n+1=4a_n+2．
∴a₁+a₂=4a₁+2，即a₂=3×2+2=8．
（2）∵S_n+1=4a_n+2，∴当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，
相减可得：a_n+1=4a_n+2-（4a_n-1+2），化为a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n+1=2b_n，
b₂=8-2×2=4．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为4，公比为2．
∴b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．