Question

在平面直角坐标系中，已知，若实数λ使得（O为坐标原点）．
（Ⅰ） 求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；
（Ⅱ） 当时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中P点的轨迹交于不同的两点E，F（E在B，F之间），且[．若存在，求出该直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由题设条件，知（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．
（Ⅱ）由，知P点轨迹方程为．S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|，由，得．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵，
实数λ使得（O为坐标原点）．
∴（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），
①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，
②λ=0时方程为x²+y²=2轨迹为圆，
③λ∈（-1，0）∪（0，1）时方程为轨迹为椭圆，
④λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时方程为轨迹为双曲线．…（6分）
（Ⅱ）∵，∴P点轨迹方程为．
S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|
由，得，
则，∴．
设直线EF直线方程为y=kx+2，
联立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，
∵△=64k²-24（1+2k²）＞0，∴，
∵x₁，x₂同号，∴，…（8分）
设，则，．…（12分）
点评：本题考查曲线类型的判断，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．