Question

【题目】在直三棱柱中，为正三角形，点在棱上，且，点，分别为棱，的中点.

(1)证明：平面；

(2)若，求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）连接，，交于点，交于点，连接，易证，从而得证；（2）以点为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，平面的法向量为，，利用公式即可得到直线与平面所成的角的正弦值.

试题解析：

(1)证明：如图，连接，，交于点，交于点，连接，

因为为矩形，所以为线段的中点，

因为点，分别为棱，的中点，

所以点为线段的中点，所以，

又因为，所以，

又平面，平面，

所以平面；

(2)由(1)知，，因为平面，所以平面，

因为为正三角形，且点为棱的中点，

所以，

故以点为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，

则，，，，，

所以，，

因为，所以，

所以，解得.

所以，，

设平面的法向量为，

则，所以，

取，则，

又因为，设直线与平面所成的角为，

所以，

所以直线与平面所成的角的正弦值为.