题目内容

已知圆锥曲线C：
x2
16
+
y2
t2-2t
=1（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F1、F2同在x轴上．
（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；
（2）试在曲线C上求满足
PF1
•
PF2
=0的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．
分析：（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，利用椭圆与双曲线的标准方程即可得出；
（2）满足
PF1
•
PF2
=0的P在以F1F2为直径的圆周上．再根据t的取值范围，可得当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，可得p的个数．再根据b与c的关系即可得出p点的个数．
解答：解：（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，
当
t2-2t＞0
t2-2t＜16
，即t∈(1-
17
，0)∪(2，1+
17
)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
当t2-2t＜0即t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线．
（2）满足
PF1
•
PF2
=0的P在以F1F2为直径的圆周上
当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，P有4个
当t∈(1-
17
，0)∪(2，1+
17
)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
此时a2=16，b2=t2-2t，c2=16-（t2-2t）
若b＜c，即t∈（-2，0）∪（2，4）时，P有4个
若b=c，即t=-2或t=4时，P有2个
若b＞c，即t∈(1-
17
，-2)∪(4，1+
17
)时，P不存在．
点评：熟练掌握椭圆、圆与双曲线的标准方程及其性质、分类讨论的思想方法等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知点P是圆C：x2+y2=1外一点，设k1，k2分别是过点P的圆C两条切线的斜率．
（1）若点P坐标为（2，2），求k1•k2的值；
（2）若k1•k2=-λ（λ≠-1，0），求点P的轨迹M的方程，并指出曲线M所在圆锥曲线的类型．
如图，直线l1和l2相交于点M且l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=
17
，|AN|=3，且|BN|=6．
（1）曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分？并建立适当的坐标系，求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程；
（2）在（1）所建的坐标系下，已知点P（m，n）在曲线段C上，直线l：mx+ny=1，求直线l被圆x2+y2=1截得的弦长的取值范围．
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（Ⅰ）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（Ⅱ）已知“若点P（x0，y0）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点（
x0•y0≠0），MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=R2”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．
（2012•天津模拟）已知曲线C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，x≥0)和曲线C2：x2+y2=r2(x≥0)都过点A（0，-1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为
3
2
．
（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的方程；
（Ⅱ）设点B，C分别在曲线C1，C2上，k1，k2分别为直线AB，AC的斜率，当k2=4k1时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（Ⅰ）试用x，y，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（Ⅱ）已知“若点P（x，y）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．

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