题目内容

（2012•天津模拟）已知曲线C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，x≥0)和曲线C2：x2+y2=r2(x≥0)都过点A（0，-1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为
3
2
．
（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的方程；
（Ⅱ）设点B，C分别在曲线C1，C2上，k1，k2分别为直线AB，AC的斜率，当k2=4k1时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
分析：（Ⅰ）由已知曲线C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，x≥0)和曲线C2：x2+y2=r2(x≥0)都过点A（0，-1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为
3
2
，可确定相应几何量，从而可得曲线C1和曲线C2的方程；
（Ⅱ）将直线AB，AC的方程分别与椭圆、圆联立，进而可求点B，C的坐标，从而可得直线BC的方程，进而可知过定点．
解答：解：（Ⅰ）由已知曲线C1和曲线C2都过点A（0，-1），得b2=1，r2=1．                        …（2分）
∵曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为
3
2
．
∴a2=4，
∴曲线C1的方程为
x2
4
+y2=1（x≥0）．                          …（3分）
曲线C2的方程为x2+y2=1（x≥0）．                               …（4分）
（Ⅱ）将y=k1x-1代入
x2
4
+y2=1，得(1+4
k
2
1
)x2-8k1x=0．…（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=0，x2=
8k1
4
k
2
1
+1
，y2=k1x2-1=
4
k
2
1
-1
4
k
2
1
+1
．
所以B(
8k1
4
k
2
1
+1
，
4
k
2
1
-1
4
k
2
1
+1
)．                                         …（7分）
将y=k2x-1代入x2+y2=1，得(1+
k
2
2
)x2-2k2x=0．
设C（x3，y3），则x3=
2k2
k
2
2
+1
，y3=k2x3-1=
k
2
2
-1
k
2
2
+1
，
所以C(
2k1
k
2
2
+1
，
k
2
2
-1
k
2
2
+1
)．                                           …（9分）
因为k2=4k1，所以C(
8k1
16
k
2
1
+1
，
16
k
2
1
-1
16
k
2
1
+1
)
则直线BC的斜率kBC=
16
k
2
1
-1
16
k
2
1
+1
-
4
k
2
1
-1
4
k
2
1
+1
8k1
16
k
2
1
+1
-
8k1
4
k
2
1
+1
=-
1
4k1
，…（11分）
所以直线BC的方程为：y-
4
k
2
1
-1
4
k
2
1
+1
=-
1
4k1
(x-
8k1
4
k
2
1
+1
)，即y=-
1
4k1
x+1．…（12分）
故BC过定点（0，1）．                                              …（13分）
点评：本题考查曲线轨迹方程的求解，考查直线恒过定点，解题的关键是确定点B、C的坐标，求出直线BC的方程．
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+
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-11
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