Question

已知a²sinθ+acosθ=2，b²sinθ+bcosθ=2（a≠b），对任意a，b∈R，经过两点（a，a²），（b，b²）的直线与一定圆相切，则圆方程为

 

．

Answer 1

分析：利用已知等式求出sinθ，cosθ；利用三角函数的平方关系得到a，b满足的等式；利用两点式求出直线的方程，利用点与直线的距离公式及直线与圆相切时满足的条件求出圆的方程．

解答：解：∵

a2sinθ+acosθ=2 b2sinθ+bcosθ=2

∴

cosθ= 2(a+b) ab sinθ= -2 ab

∵sin²θ+cos²θ=1
∴

ab

1+(a+b)2

=2
经过两点（a，a²），（b，b²）的直线方程为（b+a）x-y-ab=0
而

ab

1+(a+b)2

=2表示（0，0）与（b+a）x-y-ab=0的距离为2
故直线与圆x²+y²=4相切
故答案为：x²+y²=4

点评：本题考查三角函数的平方关系、两点式求直线方程、点与直线的距离公式、直线与圆相切的条件．