Question

（2013•杭州二模）已知a²sinθ+acosθ-2=0，b²sinθ+bcosθ-2=0（a，b，θ∈R，且a≠b），直线l过点A（a，a²），B（b，b²），则直线l被
圆（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=4所截得的弦长为

2

3

．

Answer 1

分析：由条件求得

ab

1+(a+b)2

=2，经过两点（a，a²），（b，b²）的直线方程为（b+a）x-y-ab=0．再由a和b是方程sinθ•x²+cosθx-2=0的两个根，可得 a+b=-

cosθ

sinθ

，
ab=

-2

sinθ

，故直线l即 cosθx+sinθy-2=0．求得圆心（cosθ，sinθ）到直线l的距离d 的值，再故由弦长公式可得弦长．

解答：解：∵a²sinθ+acosθ-2=0，b²sinθ+bcosθ-2=0，∴

cosθ= 2(a+b) ab sinθ= -2 ab

，∵sin²θ+cos²θ=1，∴

ab

1+(a+b)2

=2．
经过两点（a，a²），（b，b²）的直线方程为

y-a2

b2-a2

=

x-a

b-a

，即（b+a）x-y-ab=0．
再由a和b是方程sinθ•x²+cosθx-2=0的两个根，∴a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=

-2

sinθ

，故直线l即-

cosθ

sinθ

 x-y+

2

sinθ

=0，
即 cosθx+sinθy-2=0．
由于圆心（cosθ，sinθ）到直线l的距离d=

|cos2θ+sin2θ-2|

cos2θ+sin2θ

=1，故由弦长公式可得弦长为 2

r2-d2

=2

3

，
故答案为 2

3

．

点评：本题得主要考查是直线与圆的位置关系，三角函数的平方关系、两点式求直线方程、点到直线的距离公式、弦长公式，直线与圆相切的条件，属于中档题．