题目内容

如图：四边形是梯形，,,三角形是等边三角形，且平面 平面，,，

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.

（1）详见解析；（2）

解析试题分析：（1）依据直线和平面平行的判定定理，要证明平面，只需在平面内找一条直线与之平行，连接交于，连接，易证，故，进而证明平面（2）以所在的直线，过点垂直于面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，再求半平面和的法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值，进而可得二面角的余弦值.

试题解析：解：（1）连接交于，连接., 即
, ,平面,,
平面.
(2) 如图建立空间坐标系，


 ,设平面的法向量为,-                      
设平面的法向量为，,所以二面角的余弦值为.
考点：1、直线和平面平行的判定；2、二面角.

练习册系列答案
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如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA面ABEF，且DA=1，AB//EF，，P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.

求证：（I）PQ//平面BCE； 
（II）求证：AM平面ADF；

四棱锥底面是平行四边形，面面,,,分别为的中点.

（1）求证：
（2）求证：
（3）求二面角的余弦值.

如图1，在直角梯形中，，，，. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由.

正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是(     )

A．
B．三棱锥的体积为定值
C．二面角的大小为定值
D．异面直线所成角为定值

如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角．

（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，从点P看这两座建筑物的张角分别为，，问点P在何处时，最小？

如图，四面体中，、分别是、的中点，

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

如图所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝。

（I）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（II）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（III）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为？

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