Question

已知椭圆（a＞b＞0）与抛物线y²=4x有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足．
（I）求椭圆的方程；
（II）过点P（0，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，满足，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意焦点F（1，0），由，且点M在抛物线上可求代入可求M的纵坐标，，然后由M在椭圆，及已知c，可求a，b，进而可求椭圆的方程
（II）①当直线l的斜率不存在时，l的方程x=0，容易检验直线l的方程不存在
②当斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线于椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求x₁x₂，代入=可求k
解答：解：（I）由题意可知抛物线y²=4x的焦点F（1，0）
∵，且点M在抛物线上
∴（2分）
∴
∵M在椭圆
∴（3分）
∴a²=4，b²=3
椭圆的方程为（5分）
（II）①当直线l的斜率不存在时，l的方程x=0
∴
∴
∴
当斜率不存在时，直线l的方程不存在（7分）
②当斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由可得（4k²+3）x²+8kx-8=0
∴
∵
∴=（11分）
∴（12分）
∴即
∴直线l的方程为（14分）
点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于圆锥曲线的综合性试题