Question

在 (

x

+

1

2x

)8展开式中，求：
（Ⅰ）展开式中的二项式系数之和及各项系数的和；
（Ⅱ）展开式中含x的一次幂的项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在展开式中的二项式系数之和为C80+C81+…+C88=2⁸，运算求得结果．在展开式中，令x=1得，即得各项系数的和．
（Ⅱ）先求得通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中含x的一次幂的项．

解答：解：（Ⅰ）在展开式中的二项式系数之和为C80+C81+…+C88=2⁸=256，（3分）
在展开式中，令x=1得，各项系数的和为(1+

1

2

)8=(

3

2

)8．（6分）
（Ⅱ）设在(

x

+

1

2x

)8展开式中的通项为T_r+1，则Tr+1=C8r(

1

2

)rx

8-3r

2

(r=0，1，2，…，8)，（8分）
由题意得：

8-3r

2

=1，∴r=2，（10分）
∴T3=C82(

1

2

)2x=7x．（12分）

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．