Question

12．已知直线$\sqrt{6}x+2y-2\sqrt{6}=0$经过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个顶点E和一个焦点F．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求过$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$与椭圆相切的直线方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦点在x轴上，求得直线$\sqrt{6}x+2y-2\sqrt{6}=0$与坐标轴的交点坐标，则$b=\sqrt{6}$，c=2，a²=b²+c²=10，即可求得椭圆的标准方程；
（2）方法一：由（1）可知椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$，$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$在椭圆上，求导$\frac{2x}{10}+\frac{2y′y}{6}=0$，整理得：y′=-$\frac{3x}{5y}$，由切线的几何意义可知：k=y′=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，由直线的点斜式方程即可求得椭圆切线方程；
方法二：由椭圆上点（x₀，y₀）的切线方程为：$\frac{{x}_{0}x}{10}+\frac{{y}_{0}x}{6}=1$，将$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$代入即可求得椭圆切线方程．

解答 解：（1）依题意可知：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦点在x轴上，
直线$\sqrt{6}x+2y-2\sqrt{6}=0$与坐标轴的交点为：（0，$\sqrt{6}$），（2，0），
∴$E（0，\sqrt{6}）$，F（2，0），
∴$b=\sqrt{6}$，c=2，
a²=b²+c²=10，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$．
（2）方法一：由（1）可知椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$，$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$在椭圆上，
求导$\frac{2x}{10}+\frac{2y′y}{6}=0$，整理得：y′=-$\frac{3x}{5y}$，
由导数的几何意义可知：椭圆在$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$切线方程的斜率k=y′（x=$\sqrt{5}$，y=$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
则直线的切线方程为：y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x-$\sqrt{5}$），整理得：$\frac{{\sqrt{5}}}{10}x+\frac{{\sqrt{3}}}{6}y=1$，．
∴过$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$与椭圆相切的直线方程为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}x+\frac{{\sqrt{3}}}{6}y=1$．
方法二：由（1）可知椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$，$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$在椭圆上，
由椭圆上点（x₀，y₀）的切线方程为：$\frac{{x}_{0}x}{10}+\frac{{y}_{0}x}{6}=1$，
代入即可求得：切线方程为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}x+\frac{{\sqrt{3}}}{6}y=1$，
过$P（\sqrt{5}，\sqrt{3}）$与椭圆相切的直线方程为$\frac{{\sqrt{5}}}{10}x+\frac{{\sqrt{3}}}{6}y=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的切线方程的应用，考查导数的几何意义，属于中档题．