Question

17．在△ABC中，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． -$\frac{5}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． -$\frac{5}{4}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，用向量$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BD}$，再求它们的数量积．

解答 解：如图所示，△ABC中，AB=2，AC=3，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
∴D是BC的中点，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）；
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$）
=$\frac{1}{4}$×（3²-2²）
=$\frac{5}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，是基础题目．