Question

11．正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高．

Answer 1

分析 画出图形，分别求出三棱台上下底面的中心到顶点和到对边的距离，再利用勾股定理求出棱台的侧棱长与斜高．

解答 解：如图所示，
正三棱台ABC-A₁B₁C₁中，高OO₁=3，底面边长为A₁B₁=2，AB=4，
∴OA=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
O₁A₁=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₁B₁=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴棱台的侧棱长为
AA₁=$\sqrt{{3}^{2}{+（\frac{4}{3}\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{93}}{3}$；
又OE=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
O₁E₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}$，
∴该棱台的斜高为
EE₁=$\sqrt{{3}^{2}{+（\frac{2}{3}\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了求正三棱台的侧棱长与斜高的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．