题目内容
19．设F1、F2是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线$x=-\frac{4}{3}a$上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则此椭圆C的离心率为（ ）| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{8}{9}$ |
分析 设直线$x=-\frac{4}{3}a$交x轴于点M，利用△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，可得|PF1|=|F1F2|，且|PF1|=2|F1M|，根据P为直线x=$-\frac{4}{3}a$上一点，建立方程$2（-c+\frac{4}{3}a）=2c$，由此可求椭圆的离心率．
解答 
解：设直线$x=-\frac{4}{3}a$交x轴于点M，
∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，
∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F1F2|，且|PF1|=2|F1M|．
∵P为直线x=$-\frac{4}{3}a$上一点，
∴$2（-c+\frac{4}{3}a）=2c$，解得3c=2a，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$．
故选：A．
点评 本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
练习册系列答案
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如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
已知四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．
11．已知集合A={x|-1≤x＜1}，B={-1，0，1}，则A∩B=（ ）
| A． | {0，1} | B． | {-1，0} | C． | {0} | D． | {-1，0，1} |
8．将函数$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）$的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，将所得图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式是（ ）
| A． | $g（x）=\sqrt{3}sin\frac{x}{2}-1$ | B． | $g（x）=\sqrt{3}sin\frac{x}{2}+1$ | C． | $g（x）=\sqrt{3}sin\frac{{{π^2}x}}{2}-1$ | D． | $g（x）=\sqrt{3}sin\frac{{{π^2}x}}{2}+1$ |