题目内容

|AB|=|xA-xB|表示数轴上A，B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算．这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p（x，y）叫做x，y之间的距离：条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
试确定运算s(x，y)=
|x-y|1+|x-y|
是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例．
分析：要说明s（x，y）是否为距离，只要验证它是否满足三条即可．即满足条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
解答：解：①s(x，y)=
|x-y|
1+|x-y|
≥0等号成立当且仅当|x-y|=0，即x=y，第一条满足
②s（x，y）=
|x-y|
1+|x-y|
=
|y-x|
1+|y-x|
=s（y，x），第二条也满足
③s（x，z）=
|x-z|
1+|x-z|

∵函数f（x）=
x
1+x
=1-
1
1+x
（或
1
1
x
+1
）在（0，+∞）上单调增，且|x-z|≤|x-y|+|y-z|
∴s（x，z）≤
|x-y|+|y-z|
1+|x-y|+|y-z|
=
|x-y|
1+|x-y|+|y-z|
+
|y-z|
1+|x-y|+|y-z|

≤
|x-y|
1+|x-y|
+
|y-z|
1+|y-z|
=s（x，y）+s（y，z），第三条也满足．
总之，s（x，y）是距离．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、综合法与分析法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
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x
a
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a
n
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（1）若ac2＞bc2，则a＞b
（2）若a＜b＜c，则 a2＞ab＞b2
（3）若a＞b＞0，则
a
d
＞
b
c

（4）若0＜a＜b，则 
b
a
＜
b+x
a+x
．

设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且xA∩B}，已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝________．

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                                    （    ）

    A．(a，b)∪(c，d)           B．(a，c)∪(b，d)

    C．(a，d)∪(b，c)           D．(c，a)∪(d，b)

 

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