Question

.(12分)如图，在四棱台ABCD－A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.

(1)求证：B₁B∥平面D₁AC；

(2)求证：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

证明：　(1)设AC∩BD＝E，连结D₁E，

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁.

∴B₁D₁∥BE，∵B₁D₁＝BE＝，

∴四边形B₁D₁EB是平行四边形，

所以B₁B∥D₁E.

又因为B₁B⊄平面D₁AC，D₁E⊂平面D₁AC，

所以B₁B∥平面D₁AC   ---------------------------------------6分

(2)证明：侧棱DD₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥DD₁.

∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD.

∵DD₁与DB是平面B₁BDD₁内的两条相交直线，

∴AC⊥平面B₁BDD₁

∵AC⊂平面D₁AC，∴平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁.---------------------12分

 

【解析】略