Question

设椭圆C：过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆C：过点（0，4），离心率为，知，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设AB的中点为M（x，y），利用点差法能够求出过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：过点（0，4），离心率为，
∴，解得a=5，b=4，c=3，
∴椭圆C的方程是．
（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设AB的中点为M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆16x²+25y²=400，
得
①-②，得16（x₁+x₂）（x₁-x₂）+25（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴32x（x₁-x₂）+50y（y₁-y₂）=0，
∴直线AB的斜率k==-，
∵直线AB过点（3，0），M（x，y），
∴直线AB的斜率k=，
∴-=，整理，得16x²+25y²-48x=0．
当k不存在时，16x²+25y²-48x=0也成立．
故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x²+25y²-48x=0．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．