Question

设椭圆

x2

4

+y2=1的两焦点分别为F₁，F₂，点P是该椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积等于

 

．

Answer 1

分析：由余弦定理结合椭圆的定义，经整体运算可求得|PF₁|•|PF₂|的值，进而求其面积．

解答：解：在△F₁PF₂中，由余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，
∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=(2c)2=(2

3

)2=12 ①
又|PF₁|+|PF₂|=2a=4，平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，=2 ②，
②-①得3|PF₁|•|PF₂|=4，即|PF1|•|PF2|=

4

3

，
∴△F₁PF₂的面积S=

1

2

|PF1|•|PF2|sin60°=

3

3

．
故答案为：

3

3

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．本题将圆锥曲线与三角问题巧妙的交汇在一起，事实上，在椭圆中S=b²tanθ，同理可求得在双曲线中S=

b2

tanθ

（其中θ=

∠F1PF2

2

）．