Question

已知椭圆C：

x2

4

+y2=1的右焦点为F，右准线为l，过F作直线交椭圆C于点P、Q两点．
（I）设

OM

=

1

2

(

OP

+

OQ

)（O为坐标原点），求M的轨迹方程；
（II）设N是l上的任一点，求证：∠PNQ＜90°．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题设知F(

3

，0)．由

OM

=

1

2

(

OP

+

OQ

)，知M为PQ之中点，知

x= x1+x2 2 y= y1+y2 2

，由P、Q在椭圆C上，有

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1．由点差法能够得到所求的轨迹方程．
（II）过P、Q及PQ之中点R，分别作右准线l的垂线PP₁，QQ₁，RR₁，垂足为P₁，Q，R₁，由椭圆的定义，知

|PF|

|PP1|

=

|QF|

|QQ1|

=e，故|PP1|=

|PF|

e

，|QQ1|=

|QF|

e

(e=

3

2

)．由此能够证明∠PNQ＜90°．

解答：解：（1）设M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题设知F(

3

，0)．由

OM

=

1

2

(

OP

+

OQ

)，知M为PQ之中点，∴

x= x1+x2 2 y= y1+y2 2

又P、Q在椭圆C上，则

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1．当x₁≠x₂时，两式相减，得

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

，即kPQ=-

x

4y

，又kMF=

y

x- 3

，所以

-x

4y

=

y

x- 3

，化简得x2+4y2-

3

x=0．
当x₁=x₂时，即PQ垂直于x轴时，此时M的坐标为（

3

，0），也是满足上式．故所求的轨迹方程为x2+4y2-

3

x=0．
（II）过P、Q及PQ之中点R，分别作右准线l的垂线PP₁，QQ₁，RR₁，垂足为P₁，Q，R₁，由椭圆的定义，知

|PF|

|PP1|

=

|QF|

|QQ1|

=e，∴|PP1|=

|PF|

e

，|QQ1|=

|QF|

e

(e=

3

2

)．
又|RR1|=

|PP1|+|QQ1|

2

=

1

2

•

|PF|+|QF|

e

=

1

2

•

|PQ|

e

=

|PQ|

2

•

2

3

，

|PQ|

2

，
所以以PQ为直径的圆与l相离，所以N在以PQ为直径的圆外，所以∠PNQ＜90°．

点评：本题考查M的轨迹方程的求法和证明∠PNQ＜90°．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．