Question

（本题14分）．在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点．
（1）求直线与平面所成的角的正弦值；
（2）求点到平面的距离．

Answer 1

（1）
（2）

解法一：，又，则是的中点，故

，，
则，
设D到平面ACM的距离为，由，有，可求得，
设直线与平面所成的角为，则．
（2）可求得PC=6．因为AN⊥NC，由，得PN．
所以．故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由⑵可知所求距离为．
解法二：
（1）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；
设平面的一个法向量，由，
可得：，令，则．
设所求角为，则．
（2）由条件可得，．在中，，
所以，则，，
所以所求距离等于点到平面距离的，
设点到平面距离为，则，故所求距离为．