Question

10．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是B₁C₁，C₁D₁的中点．
（1）异面直线EF与A₁D所成的角的大小；
（2）求证EF∥平面A₁BD；
（3）求证EF⊥平面AA₁C₁C；
（4）求证：平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）通过平移直线作出异面直线EF与A₁D所成的角，在三角形中即可求得．
（2）利用EF∥B₁D₁，EF?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，证明EF∥平面A₁BD；
（3）证明BD⊥平面AA₁C₁C，即可证明EF⊥平面AA₁C₁C；
（4）利用BD⊥平面AA₁C₁C，证明平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C．

解答 （1）解：连接B₁D₁，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由B₁B=D₁D，B₁B∥D₁D，可知B₁D₁∥BD，
在△B₁C₁D中，E，F分别是B₁C₁，C₁D₁的中点，所以，有EF∥B₁D₁，
所以∠A₁DB就是异面直线EF与A₁D所成角，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，△A₁DB就是正三角形，∠A₁DB就=60°
故异面直线EF与A₁D所成角的大小为60°；
（2）证明：∵EF∥B₁D₁，EF?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
∴EF∥平面A₁BD；
（3）证明：∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，即BD⊥AA₁；
又BD⊥AC，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C；
∵EF∥BD，
∴EF⊥平面AA₁C₁C；
（4）证明：∵BD⊥平面AA₁C₁C，BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C．

点评 本题考查异面直线所成的角及其求法，考查线面平行、垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．