Question

（1）若0＜x＜

5

2

，求f（x）=x（5-2x）的最大值．
（2）已知f（x）=x²+ax+3-a，若x∈R时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分析函数f（x）=x（5-2x）的图象和性质，结合0＜x＜

5

2

，可得当x=

5

4

时f（x）=x（5-2x）取最大值；
（2）若x∈R时，f（x）≥0恒成立，则函数f（x）=x²+ax+3-a的图象与x轴至多有一个交点，即△=a²-4（3-a）≤0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x（5-2x）=-2x²+5x的图象为
开口朝下，且以直线x=

5

4

为对称轴的抛物线
又∵0＜x＜

5

2

，
故当x=

5

4

时f（x）=x（5-2x）取最大值

25

8

（2）∵函数f（x）=x²+ax+3-a，若x∈R时，f（x）≥0恒成立，
故函数f（x）=x²+ax+3-a的图象与x轴至多有一个交点
即△=a²-4（3-a）≤0
即a²+4a-12≤0
解得-6≤a≤2

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次函数在闭区间上的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答本题的关键．