Question

已知函数f(x)=x3-ax ， g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

（1）若g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，求实数a的值；
（2）对一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）记G(x)=

1

2

x3-

5

2

x-xg(x)+

1

2

求证：当x≥1时，总有G(x)≤

1

2

x2成立．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=x3-ax ， g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

，知f′（x）=3x²-a，g′(x)=x-

1

x

，由此求出当x=1时，g（x）有极小值g（1）=-2．由g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，知f（1）=-2，且f′（1）=0，从而能求出a．
（2）对一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立等价于a≤(2lnx+

3

x

+x)min，记t（x）=2lnx+

3

x

+x，x＞0，则t′(x)=(2lnx+

3

x

+x)′=

x2+2x-3

x2

，由此能求出实数a的取值范围．
（3）当x≥1时，总有G(x)≤

1

2

x2成立，等价于当x≥1时，总有G(x)≤

1

2

x2成立≥1时，总有xlnx≤

1

2

x2-

1

2

．设F（x）=xlnx+

1

2

-

1

2

x2，x≥1，由此利用导数性质能够证明故当x≥1时，总有G(x)≤

1

2

x2成立．

解答：（1）解：∵f(x)=x3-ax ， g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

，
∴f′（x）=3x²-a，g′(x)=x-

1

x

，
令g′(x)=x-

1

x

=0，得x=1，（x=-1舍）
当0＜x＜1时，g′（x）0．
∴当x=1时，g（x）有极小值g（1）=-2．
∵g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，
∴f（1）=-2，且f′（1）=0，即

1-a=-2 3-a=0

，
解得a=3．
（2）解：不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3转化为：
x3-ax≥2x(

1

2

x2-lnx-

5

2

)-x2+5x-3，
化简，得ax≤2xlnx+x²+3，
∵x∈（0，+∞），
∴a≤2lnx+

3

x

+x，
∵对一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，
∴a≤(2lnx+

3

x

+x)min，
记t（x）=2lnx+

3

x

+x，x＞0，则t′(x)=(2lnx+

3

x

+x)′=

2

x

-

3

x2

+1=

x2+2x-3

x2

，
令t′（x）=0，得

x2+2x-3

x2

=0，解得x=1．
在（0，1）上，t′（x）＜0；在（1，+∞）上，t′（x）＞0．
故当x=1时，t（x）有极小值为4，
故a∈（-∞，4]．
（3）证明：∵g（x）=

1

2

x2-lnx-

5

2

，
∴G(x)=

1

2

x3-

5

2

x-xg(x)+

1

2

=

1

2

x3-

5

2

x-

1

2

x3+xlnx+

5

2

x+

1

2

=xlnx+

1

2

，
∵当x≥1时，总有G(x)≤

1

2

x2成立，
∴当x≥1时，总有G(x)≤

1

2

x2成立≥1时，总有xlnx≤

1

2

x2-

1

2

．
设F（x）=xlnx+

1

2

-

1

2

x2，x≥1
则F′（x）=lnx+1-x，令F′（x）=0，得x=1．
当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，
∴F（x）=xlnx+

1

2

-

1

2

x2≤0．
故当x≥1时，总有G(x)≤

1

2

x2成立．

点评：本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质、构造法、等价转化思想的合理运用．