Question

3．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆C上任意一点，当|PF₁|-|PF₂|取最大值时，|PF₁|=3，|PF₂|=1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C、圆x²+y²=r²均相切，切点分别为M、N，当r在区间（b，a）内变化时，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的焦半径公式和椭圆的范围，可得2c=2，再由椭圆的定义可得2a=4，求得b，进而得到椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式为0，再由直线和圆相切的条件：d=r，结合勾股定理，以及基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（1）|PF₁|-|PF₂|=a+ex_P-（a+ex_P）=2ex_P，
当x_P取得最大值a时，|PF₁|-|PF₂|取最大值．
且有2ea=2，即$\frac{c}{a}$•a=1，即c=1，
又|PF₁|+|PF₂|=4，即2a=4，即a=2，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，
即kx-y+m=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵直线l与圆x²+y²=r²相切，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，即m²=r²（k²+1），①
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由直线l与椭圆相切，得△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
即m²=4k²+3，②
由①②得k²=$\frac{{r}^{2}-3}{4-{r}^{2}}$，m²=$\frac{{r}^{2}}{4-{r}^{2}}$，
设点M（x₀，y₀），则x₀²=（$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$）²=$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{16（{r}^{2}-3）}{{r}^{2}}$，
y₀²=$\frac{1}{4}$（12-3x₀²）=$\frac{9（4-{r}^{2}）}{{r}^{2}}$，
∴|OM|²=$\frac{7{r}^{2}-12}{{r}^{2}}$，
∴|MN|²=|OM|²-|ON|²=$\frac{7{r}^{2}-12}{{r}^{2}}$-r²
=7-（r²+$\frac{12}{{r}^{2}}$），
∵$\sqrt{3}$＜r＜2，∴3＜r²＜4，
由r²+$\frac{12}{{r}^{2}}$≥2$\sqrt{{r}^{2}•\frac{12}{{r}^{2}}}$=4$\sqrt{3}$，
当且仅当r²=2$\sqrt{3}$∈（3，4），
|MN|取得最大值，且为$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的焦半径公式和椭圆的范围，考查直线和圆相切的条件：d=r，直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．