题目内容

18．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，以CD为直径的圆分别交AC、BC于E、F．
（1）求证：S四边形CEDF=BF•AE；
（2）求证：$\frac{BF}{AE}=\frac{{B{C^3}}}{{A{C^3}}}$．

分析 （1）由圆的直径所对的圆周角为直角，可得四边形CEDF为矩形，再由直角三角形射影定理和平行线分线段成比例定理，即可得到S四边形CEDF=BF•AE；
（2）运用直角三角形的射影定理和圆的切割线定理，可得$\frac{BF}{AE}=\frac{{B{C^3}}}{{A{C^3}}}$．

解答 证明：（1）∵CD为圆的直径，
∴三角形FCD和三角形ECD分别是以∠CFD和∠CED为直角的直角三角形．
又∠ACB=90°，可得四边形CEDF为矩形，
S四边形CEDF=DF•DE．
在直角三角形BDF和直角三角形DAE中，
∠DFC=∠DEA，∠BDF=∠DAE，
即有△BDF∽△DAE，
即为$\frac{BF}{DE}$=$\frac{DF}{AE}$，即DE•DF=BF•AE．
∴S四边形CEDF=BF•AE．
（2）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°
∴AC2=AD•AB，BC2=BD•BA．∴$\frac{BD}{AD}=\frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}}$（1），
又∵BD2=BC•BF，AD2=AC•AE（切割线定理）
∴$\frac{{B{D^2}}}{{A{D^2}}}=\frac{BC•BF}{AC•AE}$，（2）
由（1）与（2）可得$\frac{BC•BF}{AC•AE}=\frac{{B{C^4}}}{{A{C^4}}}$，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{{B{C^3}}}{{A{C^3}}}$．

点评 本题考查圆的切割线定理、直角三角形的射影定理、平行线分线段成比例定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．

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