Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（c＞0）的导函数的图象如图所示：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g(x)=

f(x)

x

，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据图象可知f（x）的导函数是一次函数，根据坐标（0，1），（-

1

2

，0）确定出一次函数解析式，求出f（x）的导函数，两者相等求出a、b即可；
（2）方法一：讨论

c

的大小范围，以[1，2]分成三个区间分别讨论，利用导数求闭区间上函数最值的方法求出最值并比较求出最大值即可；方法二：讨论x与

c

的大小利用导数求闭区间上函数最值的方法求出最值并比较求出最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）因为f′（x）=2ax+b，由图可知，f′（x）=2x+1，
∴

2a=2 b=1

，得

a=1 b=1

，故所求函数解析式为f（x）=x²+x+c．
（Ⅱ）g(x)=

f(x)

x

=

x2+x+c

x

=x+

c

x

+1，
则g′(x)=1-

c

x2

=

x2-c

x2

=

(x+ c )(x- c )

x2

．
法一：①若

c

＜1，即0＜c＜1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，2]上是增函数，故g(x)max=g(2)=

1

2

c+3．
②若1≤

c

≤2，即1≤c≤4，当1≤x＜

c

时，g′（x）＜0；当

c

≤x≤2时，g′（x）＞0；
∵g（1）=c+2，g(2)=

1

2

c+3，
∴当1≤c≤2时，g（1）≤g（2），g(x)max=g(2)=

1

2

c+3；
当2＜c≤4时，g（1）＞g（2），g（x）_max=g（1）=c+2．
③若

c

＞2，即c＞4时，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，2]上是减函数，故g（x）_max=g（1）=c+2．
综上所述，当0＜c≤2时，g(x)max=

1

2

c+3；当c＞2时，g（x）_max=c+2．
法二：∵当0≤x＜

c

时，g′（x）＜0；当x≥

c

时，g′（x）＞0；
∴当x=1或x=2时，g（x）取得最大值，其中g（1）=c+2，g(2)=

c

2

+3，
当0＜c≤2时，g(x)max=g(2)=

c

2

+3；
当c≥2时，g（x）_max=g（1）=c+2．

点评：此题主要考查学生利用导数求闭区间上函数的最值的能力，以及分类讨论的数学思想．