题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
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（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上是否存在点P，使得过点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）直接根据条件列出
，解方程求出b，c即可得到椭圆C的方程；
（2）先根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|=|AP|，得到关于点P坐标的等式；再结合点P在椭圆上即可求出点P的坐标．
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（2）先根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|=|AP|，得到关于点P坐标的等式；再结合点P在椭圆上即可求出点P的坐标．
解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
…（3分）
∴b=2，…（4分）
∴所求椭圆方程为
+
=1． （5分）
（2）设P点坐标为（x0，y0），
依题意，∠APO=∠BPO=90°，又∠APB=90°．所以AOBP为矩形，
又|BP|=|AP|，|BO|=|AO|．所以AOBP为正方形，则有|AO|=|AP|．（7分）
即|OA|=
有2=
两边平方得x02+y02=8…①（9分）
又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以4x02+9y02=36…②
①，②联立解得x02=
，y02=
（11分）
所以满足条件的有以下四组解
，
，
，
．
所以，椭圆C上存在四个点（
，
），（
，-
），（-
，
），（-
，-
），
分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直．（14分）
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∴b=2，…（4分）
∴所求椭圆方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（2）设P点坐标为（x0，y0），
依题意，∠APO=∠BPO=90°，又∠APB=90°．所以AOBP为矩形，
又|BP|=|AP|，|BO|=|AO|．所以AOBP为正方形，则有|AO|=|AP|．（7分）
即|OA|=
| |OP|2-|AP|2 |
| x02+y02-4 |
两边平方得x02+y02=8…①（9分）
又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以4x02+9y02=36…②
①，②联立解得x02=
| 36 |
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| 4 |
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所以满足条件的有以下四组解
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所以，椭圆C上存在四个点（
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分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直．（14分）
点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题．解决第二问的关键在于根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|=|AP|，得到关于点P坐标的等式．
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