题目内容

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
3 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N,在x轴上是否存在定点G,使得
GM |
GN |
分析:(Ⅰ)要求椭圆C的方程,根据已知|PF1|=6-|PF2|,可求2a,又
=
可求c,然后由b2=a2-c2可求b,进而可求椭圆C的方程
(Ⅱ)假设存在符合条件的点G(t,0),因l不垂直于x轴,可设直线l的方程为y=k(x-1),联立方程可得(4+9k2)x2-18k2x+9k2-36=0,由点Q(1,0)在椭圆内部,可得直线l必与椭圆有两个不同交点.根据方程根与系数可设点M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=
.
•
=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(1+k2)
-
(t+k2)+t2+k2.(﹡)
解法一:设
•
=s,则(1+k2)
-
(t+k2)+t2+k2=s,整理得:(9t2-18t-9s-23)k2+4t2-4s-36=0,此式对任意k∈R恒成立,整理可求
解法二:由(﹡)式整理得=
+t2-2t-
.若
•
为定值,则
+t2-2t-
对任意k∈R恒为常数,从而可求
c |
a |
| ||
3 |
(Ⅱ)假设存在符合条件的点G(t,0),因l不垂直于x轴,可设直线l的方程为y=k(x-1),联立方程可得(4+9k2)x2-18k2x+9k2-36=0,由点Q(1,0)在椭圆内部,可得直线l必与椭圆有两个不同交点.根据方程根与系数可设点M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=
18k2 |
4+9k2 |
9k2-36 |
4+9k2 |
GM |
GN |
9k2-36 |
4+9k2 |
18k2 |
4+9k2 |
解法一:设
GM |
GN |
9k2-36 |
4+9k2 |
18k2 |
4+9k2 |
解法二:由(﹡)式整理得=
8t-
| ||
9k2+4 |
23 |
9 |
GM |
GN |
8t-
| ||
9k2+4 |
23 |
9 |
解答:
解:(Ⅰ)因为|PF1|=6-|PF2|,所以2a=6,即a=3
又
=
,所以c=
,b2=a2-c2=4
所以椭圆C的方程为
+
=1.
(Ⅱ)假设存在符合条件的点G(t,0),因l不垂直于x轴,设直线l的方程为y=k(x-1),
与椭圆C:
+
=1联立并消去y得:(4+9k2)x2-18k2x+9k2-36=0
∵点Q(1,0)在椭圆内部,∴直线l必与椭圆有两个不同交点.
设点M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=
.
=(x1-t,y1),
=(x2-t,y2)
=(1+k2)
-
(t+k2)+t2+k2.(﹡)
解法一:设
•
=s,则(1+k2)
-
(t+k2)+t2+k2=s,
整理得:(9t2-18t-9s-23)k2+4t2-4s-36=0,此式对任意k∈R恒成立;
所以
,解得
.
∴存在这样的定点G(
,0)满足题意.
解法二:由(﹡)式得:
=
+t2-3=
+t2-3
=
+t2-3+
=
+t2-2t-
.
若
•
为定值,则
+t2-2t-
对任意k∈R恒为常数,
所以必有8t-
=0,即t=
.
从而
•
=t2-2t-
=
.
所以存在这样的定点G(
,0)满足题意.

又
c |
a |
| ||
3 |
5 |
所以椭圆C的方程为
x2 |
9 |
y2 |
4 |
(Ⅱ)假设存在符合条件的点G(t,0),因l不垂直于x轴,设直线l的方程为y=k(x-1),
与椭圆C:
x2 |
9 |
y2 |
4 |
∵点Q(1,0)在椭圆内部,∴直线l必与椭圆有两个不同交点.
设点M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=
18k2 |
4+9k2 |
9k2-36 |
4+9k2 |
GM |
GN |
|
=(1+k2)
9k2-36 |
4+9k2 |
18k2 |
4+9k2 |
解法一:设
GM |
GN |
9k2-36 |
4+9k2 |
18k2 |
4+9k2 |
整理得:(9t2-18t-9s-23)k2+4t2-4s-36=0,此式对任意k∈R恒成立;
所以
|
|
∴存在这样的定点G(
29 |
9 |
解法二:由(﹡)式得:
|
=
-24-18tk2+4k2 |
9k2+4 |
| ||||
9k2+4 |
=
-2t(9k2+4)-
| ||
9k2+4 |
4 |
9 |
8t-
| ||
9k2+4 |
23 |
9 |
若
GM |
GN |
8t-
| ||
9k2+4 |
23 |
9 |
所以必有8t-
232 |
9 |
29 |
9 |
从而
GM |
GN |
23 |
9 |
112 |
81 |
所以存在这样的定点G(
29 |
9 |
点评:本题考查了利用椭圆的定义求解椭圆的方程,及直线与椭圆相交的应用的求法,关键是利用题中给出的条件,灵活运用韦达定理,利用方程的思想进行求解.

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