题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上的动点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据短轴一个端点到右焦点的距离为3求出a，然后根据离心率求出b，最后根据a、b、c关系求出b，从而求出椭圆的标准方程；
（2）设P点坐标为（x0，y0），若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|，建立关于x0和y0的一个方程，然后根据P（x0，y0）在椭圆上，建立第二个方程，解之即可求出所求．
（2）设P点坐标为（x0，y0），若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|，建立关于x0和y0的一个方程，然后根据P（x0，y0）在椭圆上，建立第二个方程，解之即可求出所求．
解答：
解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b=2，∴所求椭圆方程为
+
=1
（2）如图，设P点坐标为（x0，y0），
若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|．
即|OA|=
有2=
两边平方得x02+y02=8①
又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以4x02+9y02=36②
①，②联立解得x02=
，y02=
所以满足条件的有以下四组解
，
，
，
所以，椭圆C上存在四个点(
，
)，(
，-
)，(-
，
)，(-
，-
)，
分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直．
解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
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∴b=2，∴所求椭圆方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
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（2）如图，设P点坐标为（x0，y0），
若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|．
即|OA|=
| |OP|2-|OA|2 |
有2=
| x02+y02-4 |
两边平方得x02+y02=8①
又因为P（x0，y0）在椭圆上，所以4x02+9y02=36②
①，②联立解得x02=
| 36 |
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所以满足条件的有以下四组解
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所以，椭圆C上存在四个点(
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分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直．
点评：本题考查了椭圆的标准方程与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，以及圆的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，此题是个难题．
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