Question

【题目】(2015·湖北）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求曲线C的方程；
（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

曲线C的方程为。

（2）

的最小值为8.

【解析】1.
设点,依题意，

,且所以,且,即且.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是,故,代入,可得,即所求的曲线C的方程为。
2.
（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.
(2)当直线的斜率存在时，设直线,由消去,可得.因为直线总与椭圆C有且只有一个公共点，所以,即. ①又由可得;同理可得
.由原点O到直线的距离为和,可得.② 将①代入②得。当时，;当时，.因，则 ,,所以,当且仅当时取等号，所以当时,的最小值为8.

【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．