Question

【题目】若函数对定义域内的每一个值在其定义域内都存在唯一的使成立,则称该函数为“依赖函数”.

(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)若函数在定义域上为“依赖函数”,求实数乘积的取值范围；

(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”,若存在实数使得对任意的有不等式都成立,求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）实数的最大值为

【解析】

（1）利用新定义，对于函数的定义域内任意的，取，即可判断是否“依赖函数”；
（2）因为在递增，故，推出，得到，求出的表达式，然后求解的范围．
（3）因，故在上单调递增，求出的值，代入可得不等式都成立，即恒成立，利用判别式以及函数的单调性求解函数的最值即可．

解：（1）对于函数的定义域内任意的，取，

则，
且由在上单调递增，可知的取值唯一，
故是“依赖函数”；
（2）首先证明：当在定义域上上单调递增，且为“依赖函数”时，有。

假设，则当时，存在，使得，

当时，存在，使得，

由于在定义域上上单调递增，故，

与矛盾，故。

因为在递增，且为“依赖函数”

故，
即，
由，得，故，
，

解得，
在上单调递减，

故；
（3）因，故在上单调递增，且为“依赖函数”
从而，即，

进而，
解得或（舍），
从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，

由，
得，由，

可得，
又在单调递增，

故当时，，
从而，解得，

故实数的最大值为．