Question

研究室有甲、乙两个课题小组，根据以往资料统计，甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为P1=

2

3

，P2，现假设每个课题研究都有两项工作要完成，并且每项工作的完成互不影响，若在一次课题研究中，两小组完成任务项数相等且都不少于一项，则称该研究为“先进和谐室”．
（Ⅰ）若P2=

1

2

，求该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率；
（Ⅱ）设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为ξ，求Eξ≥2.5时，P₂的取值范围．

Answer 1

分析：（I）该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”有两种情形，一种是两小组各完成一项任务，一种是两小组各完成两项任务，分别求出其概率，相加即可求出所求；
（II）研究室在一次任务中荣获“先进和谐室”的概率P=(

C

1 2

•

2

3

•

1

3

)[

C

1 2

•P2•(1-P 2)]+(

2

3

•

2

3

)

P

2 2

然后根据Eξ=6P，Eξ≥2.5建立不等关系，解之即可求出P₂的取值范围．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）P=(

C

1 2

•

2

3

•

1

3

)(

C

1 2

•

1

2

•

1

2

)+(

2

3

•

2

3

)(

1

2

•

1

2

)=

1

3

（Ⅱ）研究室在一次任务中荣获“先进和谐室”的概率P=(

C

1 2

•

2

3

•

1

3

)[

C

1 2

•P2•(1-P 2)]+(

2

3

•

2

3

)

P

2 2

=

8

9

P2-

4

9

P

2 2

而ξ～B（6，P），所以Eξ=6P，由Eξ≧2.5知(

8

9

P2-

4

9

P

2 2

)×6≥2.5
解得

3

4

≤p2≤

5

4

，而p₂≤1，所以

3

4

≤p2≤1

点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．