Question

下列四个命题
①若{a_n} 是等差数列，则2a_n+1=a_n+a_n+2 对一切n∈N^* 成立
②数列{a_n} 满足：an=

1 2n ，n为奇数 1 3n ，n为偶数

，则

lim

n→∞

an 存在；
③设{a_n} 是等比数列，则“a₁＜a₂＜a₃”是“数列{a_n} 是递增数列”的充要条件；
④若数列{a_n} 的前n 项和S_n=ka_n+1（k≠0，k≠1），则{a_n} 是等比数列．
其中正确的序号是

①②③④

．

Answer 1

分析：①根据等差中项的定义可判断
②数列{a_n} 满足：an=

1 2n ，n为奇数 1 3n ，n为偶数

，则

lim

n→∞

an=0
③根据递增数列的定义可判断
④利用a₁=s₁=k+1，n≥2，a_n=S_n-S_n-1=ka_n-ka_n-1，可判断

解答：解：①根据等差中项的定义可知，若{a_n} 是等差数列，则a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，则有2a_n+1=a_n+a_n+2 成立，正确
②数列{a_n} 满足：an=

1 2n ，n为奇数 1 3n ，n为偶数

，则当n为奇数时，

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

1

2n

=0；当n为偶数时，

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

1

3n

=0，则当n为正整数时，

lim

n→∞

an=0，正确
③若a₁＜a₂＜a₃”，则a1＜a1q＜a1q2，若a₁＞0，则q＞1；若a₁＜0，则0＜q＜1，则根据递增数列的定义可知③正确
④若数列{a_n} 的前n 项和S_n=ka_n+1（k≠0，k≠1），则a₁=s₁=k+1；n≥2，a_n=S_n-S_n-1=ka_n-ka_n-1，则（k-1）a_n=ka_n-1，即

an

an-1

=

k

k-1

，则{a_n} 是等比数列．正确
故答案为①②③④

点评：本题主要考查了命题的真假判断，解题的关键是熟练掌握基本知识及基本方法，并能灵活应用．