Question

（2009•河西区二模）给出下列四个命题：
①若a，b∈R，则ab≤

(a+b)2

4

；
②“a＜2”是“函数f（x）=x²-ax+1无零点”的充分不必要条件；
③?x₀∈R，x₀²+x₀＜0；
④命题“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；
其中是真命题的为（　　）

A．①③

B．①②

C．①④

D．②③

Answer 1

分析：①利用不等式是性质证明．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的真假关系进行判断．④利用命题之间的关系判断．

解答：解：①因为

(a+b)2

4

-ab=

a2+2ab+b2-4ab

4

=

a2-2ab+b2

4

=

(a-b)2

4

≥0，所以ab≤

(a+b)2

4

，成立．
②若函数f（x）=x²-ax+1无零点，则对应方程的判别式△＜0，即a²-4＜0，解得-2＜a＜2．所以a＜2”是函数f（x）=x²-ax+1无零点”的必要不充分条件．
所以错误．
③当x₀=-

1

2

，时x₀²+x₀＜0成立，所以③正确．
④命题“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题是“若一个整数能被5整除，则整数的末位数字是0”，错误，因为末位数可能是5，所以④错误．
故选A．

点评：本题主要考查命题的真假判断，综合性较强，涉及的知识点较多．