题目内容

已知：直线x+y=1交椭圆mx²+ny²=1于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）
（1）求证：椭圆过定点；
（2）若椭圆的离心率在 $数学公式$ 上变化时，求椭圆长轴的取值范围．

解：（1）证明：由 $\text{[math]}$ …（2分）
由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则： $\text{[math]}$
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
∴椭圆恒过定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2）设椭圆的焦点在x轴上，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
由（1）得n=2-m，代入上式，得 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴椭圆长轴的取值范围是[ $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则： $\text{[math]}$ ，由此能够推导出椭圆恒过定点．
（2）设椭圆的焦点在x轴上，由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．由n=2-m，得 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆长轴的取值范围．
点评：本题考查椭圆过定点的证明和求椭圆长轴的取值范围．解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．