Question

已知：直线x+y=1交椭圆mx²+ny²=1于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）
（1）求证：椭圆过定点；
（2）若椭圆的离心率在[

3

3

，

2

2

]上变化时，求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

mx2+ny2=1 x+y=1

?(m+n)x2-2nx+n-1=0，由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：x1+x2=

2n

m+n

，x1x2=

n-1

m+n

，由此能够推导出椭圆恒过定点．
（2）设椭圆的焦点在x轴上，由

3

3

≤e≤

2

2

，知

1

3

≤e2≤

1

2

，所以

1

2

≤

m

n

≤

2

3

．由n=2-m，得

1

2

≤

1

2 m -1

≤

2

3

，得

5

2

≤

1 m

≤

6

2

，由此能求出椭圆长轴的取值范围．

解答：解：（1）证明：由

mx2+ny2=1 x+y=1

?(m+n)x2-2nx+n-1=0…（2分）
由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：x1+x2=

2n

m+n

，x1x2=

n-1

m+n

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
得

2(n-1)

m+n

-

2n

m+n

+1=0，即

1

2

m+

1

2

n=1．
∴椭圆恒过定点(

2

2

，

2

2

)，(

2

2

，-

2

2

)，(-

2

2

，

2

2

)，(-

2

2

，-

2

2

)．
（2）设椭圆的焦点在x轴上，
∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤e2≤

1

2

，∴

1

2

≤

m

n

≤

2

3

．
由（1）得n=2-m，代入上式，得

1

2

≤

1

2 m -1

≤

2

3

，得

5

2

≤

1 m

≤

6

2

，
∴

5

≤2

1 m

≤

6

，
∴椭圆长轴的取值范围是[

5

，

6

]．

点评：本题考查椭圆过定点的证明和求椭圆长轴的取值范围．解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．