Question

【题目】过椭圆W：的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0，1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点0，﹣1重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．

（1）求B点坐标和直线l1的方程；

（2）比较线段EF1和线段GF1的长度关系并给出证明．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）由题意得椭圆的左焦点，根据两点式可得直线的方程，然后通过解方程组可得点坐标．（2）当与轴垂直时易得．当不与轴垂直时，设的方程为，与椭圆方程联立消元后可得，，求出直线的方程后可得点的纵坐标和点G的纵坐标，计算可得，于是．

（1）由题意可得椭圆的左焦点，

所以直线的方程为，即．

由，解得或，

所以点．

（2）①当与轴垂直时，，两点与，两点重合，由椭圆的对称性，．

②当不与轴垂直时，设的方程为，

由消去整理得，

显然．

设，，则，．

由已知得，

所以直线的方程为，

令，得点的纵坐标，

把代入上式得．

由已知得，

所以直线BC的方程为，

令，得点G的纵坐标．

把代入上式得．

所以

，

又，

即，

即．