Question

在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对一切正整数n，点P_n在函数的图象上，且P_n的横坐标构成以为首项，﹣1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n（0，n²+1）．记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n，求；
（3）设S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差数列{a_n}的任一项a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大数，﹣265＜a₁₀＜﹣125，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）∵，
∴．
∴．
（2）∵C_n的对称轴垂直于x轴，且顶点为P_n，
∴设C_n的方程为．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程为y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|x=0=2n+3，
∴，
∴==．
（3）T={y|y=﹣（12n+5），n∈N*}={y|y=﹣2（6n+1）﹣3，n∈N*}，
∴S∩T=T，T中最大数a₁=﹣17．
设{a_n}公差为d，则a₁₀=﹣17+9d∈（﹣265，﹣125．）
由此得．
又∵a_n∈T．∴d=﹣12m（m∈N*）
∴d=﹣24，
∴a_n=7﹣24n（n∈N*，n≥2）．