题目内容
已知函数y=
的值域是（-∞，-2]∪[4，+∞），求实数m，n的值．
| x2+mx+3 | x+n |
分析：把函数的分母看做一个整体，用t表示，把函数中所有的x都用含t的式子表示，由均值定理，就可求出函数的值域，又因为已知函数的值域为（-∞，-2]∪[4，+∞），两个值域相同，就可求出m，n的值．
解答：解：设t=x+n，则x=t-n
y=
=
=
=t+
+m-2n
当t＞0时，则y≥2
+m-2n
当t＜0时，则y≤-2
+m-2n
∵函数y=
的值域是（-∞，-2]∪[4，+∞），
∴2
+m-2n=4且-2
+m-2n=-2
解得
或
y=
| x2+mx+3 |
| x+n |
| (t-n) 2+m(t-n)+3 |
| t |
| t2+(m-2n)t+n2-mn+3 |
| t |
| n2-mn+3 |
| t |
当t＞0时，则y≥2
| n2-mn+3 |
当t＜0时，则y≤-2
| n2-mn+3 |
∵函数y=
| x2+mx+3 |
| x+n |
∴2
| n2-mn+3 |
| n2-mn+3 |
解得
|
|
点评：本题主要考查了应用均值定理求函数的值域的，注意凑均值定理的形式，另外注意观察均值定理的条件是否具备．
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