Question

已知函数y=x²+(2m+1)x+m²-1(m∈R).

(1)m为何值时，y的极小值是0？

(2）求证：不论m是什么数值，函数的图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l₁上.

(3)平行于l₁的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于l₁而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

Answer 1

（1）解析:用配方法得，

∴y的极小值为.

由-=0，得m=-,

即当m=-时，y的极小值是0.

(2)证明:函数图象抛物线的顶点坐标为

(-，-),

即 (x、y为顶点的两坐标).

两式相减得x-y=，此为各抛物线顶点坐标所满足的方程，它的图形是一条直线.方程中不含m，因此，不论m是什么数值,抛物线的顶点都在这条直线l₁:x-y=上.

(3)证明:设l:x-y=a为任一条平行于l₁的直线,由，

消去y，得x²+2mx+m²-1+a=0，?

即(x+m)²=1-a.?

当1-a≥0，即a≤1时，直线l与抛物线相交，而1-a＜0，即a＞1时，直线l与抛物线不相交.

若a≤1，则x=-m±,

即x₁=-m-，x₂=-m+.

∴x₂-x₁=2.

直线l被抛物线截得的线段AB的长为｜AB｜=｜x₂-x₁｜=·2=

2与m无关.

因而直线l被各抛物线截得的线段都相等.