Question

已知函数y=x²+（2m+1）x+m²-1（m为实数）
（1）m是什么数值时，y的极值是0？
（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L₁上．

Answer 1

分析：（1）二次函数研究极值问题，可利用配方法研究极值，根据y的极值是0建立等量关系．
（2）先求出函数图象抛物线的顶点坐标，根据点的横坐标与纵坐标消取参数m即可得顶点轨迹，再进一步验证即可．

解答：解：（1）用配方法得：y=(x+

2m+1

2

)2-

4m+5

4

∴的极小值为-

4m+5

4

．所以当极值为0时，4m+5=0，m=-

5

4

（2）函数图象抛物线的顶点坐标为(-

2m+1

2

，-

4m+5

4

)
即x=-

2m+1

2

=-m-

1

2

，y=-

4m+5

4

=-m-

5

4

，
二式相减得：-y=

3

4

，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线，方程中不含m，因此，不论m是什么值，抛物线的顶点都在这条直线上．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及抛物线的应用，属于中档题．